量子计算机强在哪里？不是因为能存下全世界的信息

出品：科普中国

制作：中国科学技术大学 袁岚峰

监制：中国科学院计算机网络信息中心

* {* W' {! I  k2 b0 A- B, r$ q导读：“一个量子比特可以同时处于0状态和1状态”，是什么意思？正确的理解是：经典比特是“开关”，只有开和关两个状态，而量子比特是“旋钮”，有无穷多个状态。为什么“n个量子比特包含2的n次方个比特的信息”？张真人，群众请你出来解释真武七截阵的原理！

—————————————————————————————
, X* Y  i* n/ F2 h
! w  P0 Y) I( ?9 i0 P  z! d近年来，量子计算和量子通信（即“量子信息”）的成果层出不穷，吸引了公众越来越多的注意力。一个副产品是，借量子之名碰瓷的也如雨后春笋般活跃。前两天还有人问我所谓“量子能增程器”是不是真的，回答是：纯属子虚乌有！
, q$ |4 _3 O& R2 c9 ]. o! q* M3 B

4 D( c" D; t9 Z6 m8 k, f: z

心好累

碰瓷蹭热点之所以这么容易，是因为大多数人不明白量子科学的原理。虽然如此，像“量子能增程器”、“量子袜子”、“量子鞋垫”、“量子水”、“量子隐身衣”、“量子能量精华口服液”、“量子医学”这样的，还是比较容易分辨，因为一看就很不专业，压根没有这样的概念。（普朗克、爱因斯坦、海森堡、薛定谔、狄拉克等人怒问：我们费这么大劲搞出量子力学，居然只是给你们造袜子鞋垫的？）
  ~1 m2 }- V. w5 E

我的内心是崩溃的

& Z& z; E; S/ t. \! \7 x( U% n
但下面这句话，用的就全是专业概念：“基于量子叠加原理，一个量子比特可以同时处于0状态和1状态。”

这是个超级常见的说法，你如果关心量子科技的新闻，我相信你肯定看到过类似的。但这个说法不能较真，一较真你会发现很难理解它实际说的是什么意思：是说量子比特同时处于两个状态？或者迅速在两个状态之间切换？或者处于一个不确定的状态？或者……时空分裂了？（脑洞开得太大，已阵亡）

! C6 Q2 Q! k* X% G, i

量子比特迅速在两个状态之间切换？就像……佛山无影脚？！（动图）

! q# b1 Z6 Z8 I, U: Z9 `$ O
  y' _. v+ S3 r. j6 R: C* V' Z在本文中，我会告诉读者，这句话实际讲的是什么意思，——用一种准确而且容易理解的方式。

/ i) V) w* A. n( }" ~" [还有一个更神的说法，看起来不仅专业而且定量，内容却似通非通，把我这个写过不少量子信息科普文章的人都搞糊涂了：

& W# L/ g, J+ F“一个电子可以存储一量子比特信息。如果需要2比特来描述1量子比特，那么需要4比特来描述2量子比特，需要16比特来描述4量子比特……”
! I6 H7 d5 C3 y
说得明确一点就是，n个量子比特能存储2的n次方个比特的信息。奇妙的是，说这番话的不是民科，而是2016年以来大火的《宝宝的物理学》系列的作者克里斯·费利（Chris Ferrie）博士。这是他在《宝宝的量子信息学》里写的。

5 z0 J- ^# T. n, {- Z0 }, `

《宝宝的量子信息学》

! }. h* D# u. g" z8 [5 n他甚至还做了一个幽默的比喻：为了存储我最喜欢的一个分子（咖啡因）的信息，就需要地球上所有的手机！

咖啡因分子

- `! B7 k3 @  K1 `7 q+ M好好好，我们都知道你最喜欢喝咖啡了。在某种意义上，伟大的法国文学家巴尔扎克就是咖啡喝太多喝死的……
- k& g8 C8 B' ~1 o; ?) s" e0 c
: R% X, k. |* a5 y6 \- D. s$ J

巴尔扎克

! |; g5 V# _+ E; `$ W- F0 {
% v2 d3 H7 @( N8 r) ?你可能在很多地方也看到过类似的说法。我严重怀疑这些作者看过金庸的《倚天屠龙记》，因为他们的描述就好像此书第十章《百岁寿宴摧肝肠》中武当派的“真武七截阵”：
9 G  T- ^' |  q5 k7 T" V+ w
“这七套武功分别行使，固是各有精妙之处，但若二人合力，则师兄弟相辅相成，攻守兼备，威力便即大增。若是三人同使，则比两人同使的威力又强一倍。四人相当于八位高手，五人相当于十六位高手，六人相当于三十二位，到得七人齐施，犹如六十四位当世一流高手同时出手。”
0 O" Q8 d: J& s* ^4 H1 i

+ ]& _' X- S0 u/ z; f8 E  y

真武七截阵

这真是太好了……唯一的问题是，我知道这个说法实际表达的肯定不是字面上的意思，因为按照字面上，压根就不对。

这就很尴尬了

+ o4 h7 G3 f! V+ }/ {& e
  K! d& T: d; Z; F: j" G最近我咨询了一些量子信息的一线研究者，才明白了这个“真武七截阵”在什么意义上可以成立。当然，是类比的意义。在严格的意义上，它并不成立。

$ b) \9 j, J3 h5 t4 r* ?0 D# r) q下面我们来从头解释起。
: P  N/ ?0 P& {6 Q2 s$ h
8 \9 m& a, u/ p) m, J$ o& p一、量子比特是什么？

“比特”是计算机科学的基本概念，指的是一个体系有且仅有两个可能的状态，一般用“0”和“1”来表示。典型的例子，如硬币的正、反两个面或者开关的开、关两个状态。
2 K7 l' y5 X" f, J* u
2 Y' Z. |+ N" H( k4 S! ?/ m但在量子力学中，有一条基本原理叫做“叠加原理”：如果两个状态是一个体系允许出现的状态，那么它们的任意线性叠加也是这个体系允许出现的状态。

9 y) ?2 `( Q9 ?- A/ ?8 L现在问题来了，什么叫做“状态的线性叠加”？为了说清楚这一点，最方便的办法是用一种数学符号表示量子力学中的状态，就是在一头竖直一头尖的括号“|>”中填一些表示状态特征的字符。这种符号是英国物理学家狄拉克发明的，称为“狄拉克符号”。
1 r5 v! k! z* ~5 x+ X

9 n7 T. _$ B% N7 [& r# N' c8 `

狄拉克的名著《量子力学原理》

在量子信息中，经常把两个基本状态写成|0>和|1>。而|0>和|1>的线性叠加，就是a|0> + b|1>，其中a和b是两个数，这样的状态称为“叠加态”。“线性”意味着用一个数乘以一个状态，“叠加”意味着两个状态相加，“线性叠加”就是把两个状态各自乘以一个数后再加起来。如果你学过线性代数，恭喜你，复习的机会来了~

" T( j+ K. Q9 {0 s+ t" F0 p% f叠加原理说的是：如果一个体系能够处于|0>和处于|1>，那么它也能处于|0>和|1>的任何一个叠加态。这样的一个体系，就是一个“量子比特”。

: B2 H  P- b( U  o, `我们可以做一个比喻：经典比特是“开关”，只有开和关两个状态（0和1），而量子比特是“旋钮”，就像收音机上调频的旋钮那样，有无穷多个状态（所有的a|0> + b|1>）。

* T' P; ?, J+ d

旋钮

( ]) N" h& M  a$ A' i1 ~现在，你明白“一个量子比特可以同时处于0状态和1状态”是什么意思了吧？它实际是说，量子比特可以处于|0>和|1>的叠加态。在一个时刻只会处于一个这样的确定的状态，既不是同时处于两个状态，也不是迅速在两个状态之间切换，也不是处于一个不确定的状态，更不是时空分裂。（黄飞鸿：可惜了我的佛山无影脚……）
2 f' J% q$ l2 C  S' }
0 d7 G3 D3 e* G! w+ `" X不得不说，“同时处于0状态和1状态”是一个很容易令人糊涂的说法，好像禅宗的打机锋，远不如旋钮的比喻清楚易懂。更糟糕的是，读者可能会以为自己懂了，然后胡乱引申，造成更大的误解。在科普文章中，类似这样的令人似懂非懂的说法太多了，简直是遍地陷阱。
% B4 X, A9 j# z- @& `

绊马索、陷马坑、连环陷阱！（动图，《秦时明月之万里长城》第15集《见龙在田》）

二、量子比特和经典比特的信息量怎么比？
* x3 f6 [* l5 a; a! ]" x  \: ?
了解了量子比特的概念后，你一方面会感到这是个巨大的扩展，一方面也会感到纳闷：从哪里能看出“n个量子比特包含2的n次方个比特的信息”？

* h# V" H8 `8 L: s% e张真人，群众请你出来解释真武七截阵的原理！

0 e& g* q; Z+ U4 ]. q

张三丰

4 h% F; Z2 b; q% ^; y) D! J
7 p2 {% p- P0 L" A- z7 Q. k0 f) h实际上，稍微想想你就会发现，量子比特和经典比特的信息量根本不属于同一范畴，因为前者包含的是连续变量（任意的a、b两个数），而后者是离散变量（0或1）。你可以泛泛而言“量子比特包含的信息量比经典比特大得多”，但无法给出它们之间的定量关系，因为这就好像问：从0到1之间实数的个数，跟2相比是多少倍？回答是这个问题问得不好，因为从0到1之间的实数有无穷多个。
$ A% f9 j/ |! m! A* b

" ?) y% O3 K! s% a! w: A( w

你是在逗我？

7 `) c$ }  D  \) I+ C& Z
6 c# ?* J: ]' P; v  J: _) V如果我们较真的话，甚至可以说：一个连续变量里就包含了无穷多的信息。因为我们可以把这个数写成一个二进制的无穷位小数（例如0.10011100101……），用小数点后第一位表示第一个比特的信息，第二位表示第二个比特的信息，如此等等。无论你有多少个比特的信息，一个小数里都塞得下。因此，整座图书馆的信息，甚至全世界所有的信息，都可以放在一个量子比特里！
( O$ N% q( B6 V, W
" I) p4 T/ Z' Z3 H- w你也许会感到有点不对。这种存储的思路，连量子比特都不用，只要传统的一个旋钮或者一把尺子就可以实现了，为什么我们没有这么做呢？
: Y4 N% b9 ~" Z9 i1 {$ o6 _# q

! g% S9 C# d) W: b3 m+ L2 Q& ?

这是为什么呢？

0 [& W8 `/ b3 O( e2 o0 f
' {% A: e' u- E$ @5 u: ?* @' {; x: s原因在于，测量的精度是有限的。也许你可以准确地测出小数点后第一位，第二位也测得比较准，第三位就不太确定了，第四位就纯粹是蒙了，第五位以及更后面的，完全没有意义。因此，你貌似可以把任意多的信息存在一个连续变量里，但实际上取不出这么多信息。
) B& d0 x- l5 }, ~

( I4 ^( R$ t9 |7 D9 w$ g. v

幻觉，都是幻觉

* u5 T+ H; L9 ^) o
三、真武七截阵的意思是……

那么，为什么许多人言之凿凿地说，n个量子比特包含2的n次方个比特的信息？
# J7 K: S  Y8 e4 O/ s" v) S" M
8 N. I! L; q3 n2 ?# W要让这句话有意义，关键在于：把a|0> + b|1>中的a和b这两个系数，当作两个比特的信息。这当然不是个严格的说法，因为把连续变量和离散变量混为一谈了。不过只要你姑且接受这种表述，你就可以明白，他们实际想说的是，“n个量子比特包含2的n次方个系数”，这就是正确的了。

- v* r6 F; d9 F这是怎么算出来的？
7 i. ^0 y3 ^8 ^, K
对于一个量子比特，n = 1，体系可以取的状态是a|0> + b|1>，有a和b两个系数，系数的个数等于2的1次方。
. N( F. o9 R3 J7 I+ \
对于两个量子比特，n = 2，体系可以取的状态是……是什么？

你也许会觉得，第一个量子比特的状态是a1|0> + b1|1>，第一个量子比特的状态是a2|0> + b2|1>，总共有4个系数。

& a" K( e1 M, I: ~  L  A8 z! h; [0 k错了！按照这种方式，当你有第三个量子比特时，只是增加a3|0> + b3|1>的两个系数，总共有6个系数。广而言之，每个量子比特提供两个系数，所以n个量子比特包含的系数个数就是2n，怎么会是2的n次方呢？
/ C& Y/ G, O* I  w/ P
真正的关键在于，对于多量子比特的体系，基本的描述方式并不是“第一个量子比特处于某个态，第二个量子比特处于某个态……”，而是“系统整体处于某个态”。

* @1 N# E9 \2 [7 S4 t8 _1 Z系统整体可以处于什么态呢？再次回忆叠加原理（敲黑板）！是的，叠加原理对多粒子体系也适用。
: t7 X; i  M. c  F4 n9 s: H$ Z+ E

( i* P7 t3 {4 W9 d/ }0 g

敲黑板

' ?- V0 I' m$ V9 ]
6 a8 y7 T3 w. }( M# c1 Q（动图，来自作者与观视频团队合作的视频节目“科技袁人”第二集《有人觉得中国科技太弱，因为全世界除了中国只有一个国家：“外国”》，https://www.bilibili.com/video/av17932364/）
3 `/ D& p2 X( j
, r1 P5 |- V2 [+ Z2 \; t所以，我们要做的就是找出多粒子体系可以处于的基本状态，而这些多粒子基本状态是由单粒子的|0>态和|1>态组合而成的。下面我们来看这些基本状态。
  k2 o2 R5 Y" u9 }' V# i# B& ~$ V; m
3 v* X# G. E- t; l8 Z5 B首先，你可以让每一个量子比特都处于自己的|0>态，这时系统整体的状态是所有这n个|0>态的直接乘积（称为“直积”），可以简写为|000…>，狄拉克符号里有n个“0”。

然后，在这个态的基础上，你可以让第一个量子比特变成自己的|1>态，这时系统整体的状态是|100…>，这也是一个直积态。

* P7 }$ w6 f. ~8 U& V& g然后，在|000…>的基础上，你可以让另一个量子比特（比如说第二个）变成自己的|1>态，这时系统整体的状态是|010…>。这样，你可以走遍所有的由n-1个“0”和1个“1”组成的字符串。

然后，在|000…>的基础上，你可以让两个量子比特变成自己的|1>态。这样，你可以走遍所有的由n-2个“0”和2个“1”组成的字符串。
3 p4 O  K8 D6 |5 F6 v
4 N) |6 G2 P/ L8 c3 L这个过程继续下去，最终你会把所有的量子比特都变成自己的|1>态，得到由n个“1”表示的|111…>这个态。在这个过程中，你得到了所有的由“0”和“1”组成的长度为n的字符串。

& o1 p+ V; w( A  w8 I; R( u; l这样的态总共有多少个呢？第一位有2种选择，第二位也有2种选择，一直到第n位都是2种选择。所有这些选择乘起来，就是2的n次方种选择。注意是相乘，而不是相加。在高中学过排列组合、二项式定理的同学们，肯定都看明白了吧？

机智如我，早已看穿了一切

# i0 H1 K: I4 y, {9 U
0 d% s# p+ _% K6 k/ j; w因此，n量子比特的系统有2的n次方个基本状态。它可以处于的一般状态，就是
% i% C$ h- h! ^/ V( y% w
$ h1 ]* `* Q" b% ^) u( a' |% H这2的n次方个基本状态的线性叠加。可以写成c(000…) |000…> + c(100…) |100…> + c(010…) |010…> + … + c(111…) |111…>，其中每一个c都是一个系数，总共有2的n次方个这样的系数。
. C9 u, M' p" I+ k% @, Q
( ?1 X3 o3 p8 ]顺便说一下，这样的一个n粒子状态，有可能可以表示成n个单粒子状态的乘积，这时我们称它为“直积态”，但更常见的是不能表示成n个单粒子状态的乘积，这时我们称它为“纠缠态”。作为一个简单的例子，二粒子体系的(|00> + |11>) / √2就是一个纠缠态。你可以试着证明一下，很容易的~

一个慈祥的微笑

是的，上面讲的就是量子纠缠，就是那个你在很多文章里看到过、经常被宣传得神乎其神的东西。，其实它并不神秘，你如果想对量子纠缠获得更深入的了解，可以参见我的文章《你完全可以理解量子信息》的第7节“第三大奥义：纠缠”（https://mp.weixin.qq.com/s/LYVWlm6_tkCbmHrHxRI3cg）。

3 \# o% M4 }7 d3 _现在，我们终于明白“n个量子比特包含2的n次方个比特的信息”这句话实际的意思了。
! `9 C4 ~+ h: N/ I0 p2 w
张三丰：老道我也是蛮拼的！

* F( ]4 H( L. D

真武七截阵没有动图，就给大家来一路太极拳吧（动图）

四、这个优势有多大用处？

用处很大，根本上，这就是量子计算机的优势所在。

( f; K9 w- }# z具体而言，对于n个量子比特的量子计算机，一次操作就可以同时改变2的n次方个系数，相当于对n个比特的经典计算机进行2的n次方次操作。如果使用得当，这可以导致指数级的加速。这里的关键在于对量子纠缠的利用，如果没有纠缠态，只有直积态，那么你只有2n个系数，就没有加速可言了。

魔鬼藏在细节中，这里的魔鬼就是“如果使用得当”。为什么会有不得当的？因为把数据读出来是大问题。

在量子力学中，测量是一个独特的操作，跟非测量的过程服从不同的物理规律。不测量的时候，系统是做连续演化的，我们可以预测系统的状态。而在测量时，系统可能会发生突变，我们可能也会失去预测能力。

对量子力学中的测量的详细解释，可以参见我的文章《你完全可以理解量子信息》的第6节“第二大奥义：测量”（http://mp.weixin.qq.com/s/fkFEojysHLDn8uDUqcbxCA）。在这里，我们只要明白量子力学中测量的结果可能是不确定的，就足够了。

这意味着，虽然你一下子获得了2的n次方次操作的结果，但当你试图从中读出数据的时候，又会失去大部分信息。
" k" E1 T3 K# o7 c2 H) M, j6 z

坑爹啊！

. Q# b6 t( @/ o7 t& k1 a由此导致的结果是，量子计算机的这个优势，需要非常巧妙的算法才能发挥出来。只对少数特定的问题，人们才设计出了这样的算法。而对于大多数的问题，量子计算机还没有表现出任何优势。
3 I, P# v) I; \& t% j2 O3 \4 K
8 l5 Q. W+ e$ f# a( r因此，当你再看到用真武七截阵来为量子计算机做宣传的文章时，就可以明白：他们说的只是潜力，不是一般情况。量子计算机不是普遍性地算得快，干什么都比经典计算机强，而是只对一些特定的问题比经典计算机算得快。

淡定，淡定

! d" G. j3 o% f8 {; s( _
( ]2 g3 F, A% I不过，这并不意味着量子计算机不堪大用。因为在目前已知的少数能发挥量子计算机优势的问题中，就包括两个非常重要的问题：因数分解和无结构数据库的搜索。对这两个问题的详细解释，可以参见我的文章《你完全可以理解量子信息》的第10节“量子因数分解和密码破解”（http://mp.weixin.qq.com/s/irNUF7bNxbRI0dn6rvxA1g）和第11节“量子搜索”（http://mp.weixin.qq.com/s/XXZ5qWugxeexOfvRV6-M3Q）。
# i7 P3 ?3 p0 \. d: |
6 l$ i# X# A, O( j% t' Q, M0 t因数分解的困难性是常用的密码体系RSA的基础，能快速分解因数就意味着能快速破解RSA。想想你的信用卡、支付宝，如果能被人快速破解，世界会变成什么样？（剁手党的噩梦.jpg）无结构搜索的应用就更广泛了，从交通流到制药，不计其数的问题都归结于搜索。即使找不到其他的问题，这两个也已经足够显示量子计算机的重要性了。

五、如果你问的就是存储……

- p8 b2 Y) T1 _6 A4 }# H- y; P最后，如果你的目标不是计算，而是单纯的存储，那么有一个定理会让你大跌眼镜：从n个量子比特中能够读出的信息，最多就是n个经典比特！这是苏联和俄罗斯物理学家亚历山大·豪尔沃（Alexander Holevo）在1973年证明的。在这个意义上，“n个量子比特包含2的n次方个比特的信息”的说法是完全错误的。

豪尔沃

3 a: Z! l. A3 H. G% r0 ]8 _( Q. S
也就是说，单就存储而言，量子比特没有任何优势。跟前面那个“一个连续变量存储整个世界的信息”的佯谬不同，这个结论甚至都不是由于测量的误差（即使你的测量完全精确都没用），而是由于量子力学的基本原理。

5 `3 y- E) ?; P1 t' }" J6 j总结一下：量子比特的优势在于能处于两个基本状态的任何叠加态，但这个优势对于存储毫无价值，好处全都在计算上，而且只针对特定的能设计出巧妙算法的问题。虽然有这么多前提条件，但一旦能设计出这样的算法，让真武七截阵发动，就能发挥出神奇的威力！
& H8 k! H! z( R* s) V
现在，你对这个微妙的主题，理解深入多了吧？

$ h( u5 p' G- K6 u" c至少，你用不着喝那么多咖啡了！每当让我在茶和咖啡中选择时，我总是毫不犹豫地选择茶~

8 E9 F# I1 K% @5 r3 h0 }

同志哥，请喝一杯茶

7 f! E" ^5 g% b* l作者简介：袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家实验室副研究员，科技与战略风云学会会长，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。
0 F0 d2 Q: K6 f- X+ m
9 f& m7 a7 C# v2 }1 s致谢：感谢中国科学院信息工程研究所杨理研究员在科学方面的指教。

请关注风云学会的微信公众平台“风云之声”，微信号fyvoice

知乎专栏：http://zhuanlan.zhihu.com/fengyun
0 O) @) d$ o+ K2 f/ D3 j( c
一点资讯：http://www.yidianzixun.com/home?page=channel&id=m107089
* c0 p) T2 z9 j5 P% |. m
' h- Q9 R* i& R5 f今日头条：http://toutiao.com/m6256575842
" X/ R( ]1 [& o+ G* o

+ \. ~% E4 U+ w: ?) R
“科普中国”是中国科协携同社会各方利用信息化手段开展科学传播的科学权威品牌。

  j( `& j/ s8 ^; p9 ]& t4 |本文由科普中国融合创作出品，转载请注明出处。